證明圓周率 π 是無理數

前陣子在 Michael Penn 教授的 YouTube 頻道上看到的證明:

這個證明方式在其他人的 YouTube 頻道也有做過,像是 MindYourDecisions 在 2019/3/14 (Pi Day) 發表的影片:

這兩篇使用的方法是 Ivan M. Niven 在 1946 年提出來的方法 (發表在 1947 年 AMS 的期刊,第 53 期的 Bulletin of the American Mathematical Society 上):「A simple proof that π is irrational」。

先不討論證明方法本身,我把這份 PDF 印出來慢慢看,當年用打字機打的字型讀起來超有味道的... (這份 PDF 看起來是掃描檔)

從 PDF 可以看出證明超級短,只有一頁,但畢竟這是大師丟出來的證明,裡面其實省了很多步驟。這接步驟不難推導,但是是屬於考試作答時不能省略的部份,如果加上去的話應該會兩到三頁 (還是非常短)。

整個證明的過程很巧妙的設計了兩個函數搭配反證法。裡面有用到微積分,但只用到最基本的微積分,其中微分的部份用到的公式就這三個,其中是三角函數的微分公式:

\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x)\newline\newline\frac{d}{dx} cos(x) = -sin(x)

然後是兩個函數相乘後的微分公式:

\frac{d}{dx} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

積分的部份只用了定義的部份 (主要是在微分的部份證完)。

然後證明是圍繞在「整數」上面做文章,夾擠出一個不可能的情況,因此得到矛盾,證明了 π 是無理數。

整個證明可以在高三範圍 (如果現在高三還有教微積分的話) 或是大一教過微積分之後的程度證完,作者講的 "Simple" 主要是出自這邊...

四個機率問題

在「Some Useful Probability Facts for Systems Programming」這邊看到的四個機率問題,而且都有接近解:

  • 每一次有 \frac{1}{N} 成功的機率,跑 N 次後最少成功一次的機率。
  • N 個球隨機丟到 N 個籃子後有空籃子的機率。
  • N 個數字在隨機排序後有數字不改變位置的機率。
  • N 種 coupon 平均隨機出現,要抽中一套 N 種都有的 coupon 需要抽幾次的期望值。

會想要寫這篇是因為發現最後一題就是「大人買」抽卡問題的簡化版本 (這邊簡化成機率相同,一般的情境下應該是不同的)。

可以看到歐拉常數 e 與自然對數 \ln{} (i.e. 以 e 為底的對數) 滿天飛 XDDD

用程式解數學邏輯問題...

Hacker News Daily 上看到的數學邏輯問題:「“Which answer in this list is the correct answer to this question?”」。

問題是這樣:

Which answer in this list is the correct answer to this question?

  • All of the below.
  • None of the below.
  • All of the above.
  • One of the above.
  • None of the above.
  • None of the above.

accepted 的那個是推演的答案,但最高分的那個是寫程式窮舉 XDDD (不得不說大家都很愛這味...)

Miles 換算 KM 的方式

Twitter 上看到很有趣的方式:

這邊可以這樣算是因為 1.609 跟黃金比率很接近,而 Fibonacci number 的也有黃金比率的特性,所以可以直接拿來用...

二戰時德國坦克製造速度的估算問題

看到「The German Tank Problem」這篇在講二戰很有名的統計應用。這個主題在中文的維基百科寫得還蠻完整的,讀起來應該會更快一些:「德國坦克問題」:

在統計學理論的估計中,用不放回抽樣來估計離散型均勻分布最大值問題中著名的德國坦克問題(英語:German tank problem),它因在第二次世界大戰中用於估計德國坦克數量而得名。

如同上面所說的,這個方法是因為估算的準確度極高而知名:

對坦克車輪的分析產生了對使用中的車輪模具數量的估計。在與英國車輪製造商討論過後,他們估計了這麼多的模具可以生產多少車輪,進而是每個月可生產的坦克數量。對兩輛坦克(每輛32個車輪,總計64個車輪)車輪的分析的結果是1944年2月的生產數量估計在270左右,大大超出此前預期。

德國戰後公布的記錄顯示,1944年2月一個月的生產量是276輛。統計方法結果的精確度是常規情報收集方法所遠遠不能達到的,而「德國坦克問題」這個詞也成為了這種統計分析問題的標誌。

而且之後被拿來推敲經典的 Commodore 64 的數量也還蠻準的:

該公式在非軍事中也有使用,如估計Commodore 64計算機的總數,其結果(1.25億)與官方數字相當匹配。

打數學式子的工具

看到 Mathcha 這個網站,除了可以輸入 TeX 的公式外,也有 WYSIWYG 的方式輸入,而最後可以輸出成各種格式 (包括 TeX),或是直接丟連結給其他人:

輸入的部份,對於不知道的符號葉可以用畫的 XD

然後網站上的標示寫沒有支援 IE 與 Edge,不知道是真得不支援還是沒列上去而已... XD

計算圓周率 Pi 的公式...

Twitter 上看到這個:

利用這個公式 (Bailey–Borwein–Plouffe formula),可以直接對二進位 (四進位、八進位、十六進位、...) 直接計算出某個位數的值...

Springer 免費提供的數學書 (PDF)

Hacker News Daily 上看到有人在 Gist 上把 Springer 提供的數學類 PDF 書籍整理出來 (Direct links to free Springer maths books (pdf versions)),查了一下好像是「Springer launches full book download feature」的一環?:

Springer have made a bunch of maths books available for free, here are the direct links

其中重複的書名連結表示有多個版本供下載。裡面有很多經典的書籍啊,以前上課的時候都翻過?

用程式產生論文,這次是數學領域...

好像隔一陣子就會有人成功 XD

SCIgen 可以生出 CS 領域的論文,而這次則是 Mathgen 產生數學領域的論文 XD:「Randomly Generated Math Article Accepted By 'Open-Access' Journal」。

論文的 PDF 則是在這:「Independent, Negative, Canonically Turing Arrows of Equations and Problems in Applied Formal PDE」。