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兩個 unsigned int 取平均值的方法

在 Hacker News Daily 上看到 Raymond Chen 在講怎麼對兩個 unsigned int 取平均值的方法：「On finding the average of two unsigned integers without overflow」，這篇裡面提到了不少有趣的歷史，另外 Hacker News 上的討論「Finding the average of two unsigned integers without overflow (microsoft.com)」也可以翻翻。

最直覺的解法會有 overflow 的問題：

unsigned average(unsigned a, unsigned b)
{
    return (a + b) / 2;
}

如果已知 a 與 b 的大小的話 (如同作者說的，蠻多時候都符合這個情況)，可以用這個方法避免 integer overflow：

unsigned average(unsigned low, unsigned high)
{
    return low + (high - low) / 2;
}

另外還有個方法是有專利的 (「Calculating the average of two integer numbers rounded towards zero in a single instruction cycle」)，雖然在 2016 年到期了，各除以二相加後，只有 a 與 b 都是奇數的情況下需要補 1：

unsigned average(unsigned a, unsigned b)
{
    return (a / 2) + (b / 2) + (a & b & 1);
}

接下來的這個方法用 AND 與 XOR 搞事，其中的原理可以解釋成，相同的 bit 不動表示值不需要動，不同的 bit 表示降一位 (除以 2)：

unsigned average(unsigned a, unsigned b)
{
    return (a & b) + (a ^ b) / 2;
}

最後是暴力解，用個比較大的 data type 搞定他：

unsigned average(unsigned a, unsigned b)
{
    // Suppose "unsigned" is a 32-bit type and
    // "unsigned long long" is a 64-bit type.
    return ((unsigned long long)a + b) / 2;
}

後面有很多 assembly 的妖魔鬼怪跑出來就不提了 XDDD

對於按讚數排名的方法

前幾天看到一篇 2009 年的老文章，在討論使用者透過「喜歡」以及「不喜歡」投票後，要怎麼排名的方法：「How Not To Sort By Average Rating」。

基本的概念是當使用者投票數愈多時就會愈準確，透過統計方法可以算一個信賴區間，再用區間的下限來排... 但沒想到公式「看起來」這麼複雜 XDDD

Score = Lower bound of Wilson score confidence interval for a Bernoulli parameter

但實際的運算其實沒那麼複雜，像是 Ruby 的程式碼可以看出大多都是系統內的運算就可以算出來。其中的 z 在大多數的情況下是常數。

require 'statistics2'

def ci_lower_bound(pos, n, confidence)
    if n == 0
        return 0
    end
    z = Statistics2.pnormaldist(1-(1-confidence)/2)
    phat = 1.0*pos/n
    (phat + z*z/(2*n) - z * Math.sqrt((phat*(1-phat)+z*z/(4*n))/n))/(1+z*z/n)
end

The z-score in this function never changes, so if you don't have a statistics package handy or if performance is an issue you can always hard-code a value here for z. (Use 1.96 for a confidence level of 0.95.)

作者後來在 2012 年與 2016 年也分別給了 SQL 以及 Excel 的範例程式碼出來，裡面 hard-code 了 95% 信賴區間的部份：

SELECT widget_id, ((positive + 1.9208) / (positive + negative) - 
                   1.96 * SQRT((positive * negative) / (positive + negative) + 0.9604) / 
                          (positive + negative)) / (1 + 3.8416 / (positive + negative)) 
       AS ci_lower_bound FROM widgets WHERE positive + negative > 0 
       ORDER BY ci_lower_bound DESC;
=IFERROR((([@[Up Votes]] + 1.9208) / ([@[Up Votes]] + [@[Down Votes]]) - 1.96 * 
    SQRT(([@[Up Votes]] *  [@[Down Votes]]) / ([@[Up Votes]] +  [@[Down Votes]]) + 0.9604) / 
    ([@[Up Votes]] +  [@[Down Votes]])) / (1 + 3.8416 / ([@[Up Votes]] +  [@[Down Votes]])),0)

而更多的說明在維基百科的「Binomial proportion confidence interval」可以翻到，裡面也有其他的方法可以用。