四個機率問題

在「Some Useful Probability Facts for Systems Programming」這邊看到的四個機率問題，而且都有接近解：

每一次有 $\frac{1}{N}$ 成功的機率，跑 $N$ 次後最少成功一次的機率。
$N$ 個球隨機丟到 $N$ 個籃子後有空籃子的機率。
$N$ 個數字在隨機排序後有數字不改變位置的機率。
$N$ 種 coupon 平均隨機出現，要抽中一套 $N$ 種都有的 coupon 需要抽幾次的期望值。

會想要寫這篇是因為發現最後一題就是「大人買」抽卡問題的簡化版本 (這邊簡化成機率相同，一般的情境下應該是不同的)。

可以看到歐拉常數 $e$ 與自然對數 $\ln{}$ (i.e. 以 $e$ 為底的對數) 滿天飛 XDDD

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